Conducción de calor: Ley de Fourier

Considere una conducción de estado estacionario de calor a través de una pared plana grande de espesor ∆x=L y área A, como se muestra en la figura. La diferencia de temperatura de uno a otro lado de la pared es ∆T=T₂-T₁. La razón de la transferencia de calor, Q, a través de la pared se va a duplicar cuando se duplica la diferencia de temperatura, ∆T o bien pude ser que se duplique el área A perpendicular a la dirección de la transferencia de calor. Pero se reduce a la mitad cuando se duplica el espesor L de la pared.

“Por lo tanto, la razón de la conducción de calor a través de una capa plana es proporcional a la diferencia de temperatura a través de ésta y al área de transferencia de calor, pero es inversamente proporcional al espesor.” Este enunciado recibe es la Ley de Fourier de la conducción de calor. 

Donde k es la conductividad térmica del material que es una medida de la capacidad de un material para conducir calor. En el caso límite de ∆x=>0, la ecuación que acaba de darse se reduce a la forma diferencial.

Aquí, dT/dx es el gradiente de temperatura, el cual es la pendiente de la curva de temperatura en un diagrama T-x . La relación antes dada indica que la razón de conducción del calor en una dirección es proporcional al gradiente de temperatura en esa dirección.

La ecuación de Fourier para las tres dimensiones quedará expresada mediante ecuaciones diferenciales parciales de la siguiente manera:

Para un material isotrópico se entiende que el material no tiene ninguna dirección preferida por tanto el calor se produce con la misma conductividad térmica "k" en todas las direcciones.
Forma tridimensional de la ley de Fourier

¿Qué pasa si el material es anisotrópico?¿Qué ecuación se debe utilizar?
Cuando el material es anisotrópico sigue una dirección preferida por ejemplo algunos sólidos como los cristales simples no cúbicos, los materiales fibrosos y los laminados. Para tales sustancias es necesario reemplazar la ecuación por:

en este caso k es un tensor simétrico de segundo orden  denominado tensor de conductividad térmica. Por lo tanto, el vector de densidad de flujo de calor no apunta en la misma dirección que el gradiente de temperatura. 

Fuente:

Cenguel, Cuarta Edición, Transferencia de Masa y Calor.